Calculadora de Progressão Aritmética

Progressões aritméticas aparecem em situações que você pode nem imaginar — acrescentar um valor fixo à sua poupança todo mês, planejar um cronograma de pagamentos ou observar como um padrão numérico cresce passo a passo. Essas sequências se baseiam em uma ideia simples: cada número da série está separado pelo mesmo valor fixo, chamado de diferença comum.

O que é uma Progressão Aritmética?

Uma progressão aritmética é uma lista de números que segue um padrão claro: cada novo número é obtido somando ou subtraindo sempre o mesmo valor. Esse “mesmo valor” é chamado de diferença comum.

Veja este exemplo: 5, 10, 15, 20, 25…

• O primeiro termo (a₁) é 5.

• A diferença comum (d) é 5, pois cada número aumenta em 5.

Esses padrões vão muito além de exercícios de livro. Eles ajudam a responder perguntas reais — como calcular quanto dinheiro você terá após um ano economizando a mesma quantia toda semana ou quantos passos são necessários para atingir uma meta se você aumenta seu esforço gradualmente.

Como os números evoluem de forma constante, as progressões aritméticas são fáceis de prever e manipular. Por isso, são recurrentes nas aulas de matemática e surgem com frequência na resolução prática de problemas.

A Fórmula das Progressões Aritméticas

Progressões aritméticas parecem simples, mas existem fórmulas claras que facilitam ainda mais seu uso. Elas permitem encontrar rapidamente qualquer termo da sequência ou somar um grupo de termos sem precisar escrevê-los todos.

Encontrando Qualquer Termo da Sequência

A fórmula para encontrar o n-ésimo termo (qualquer posição na sequência) é:

aₙ = a₁ + (n − 1)d

Aqui está o significado de cada parte:

• aₙ – o termo que você quer encontrar (por exemplo, o 10º número).

• a₁ – o primeiro termo da sequência.

• d – a diferença comum (quanto cada termo varia).

• n – a posição do termo que você deseja encontrar.

Somando Vários Termos

Se você precisa encontrar a soma dos primeiros n termos, existe outra fórmula prática:

Sₙ = (n ÷ 2) × [2a₁ + (n − 1)d]

Essa fórmula permite somar os números sem precisar listar um por um.

Um Exemplo Rápido

Suponha que você tenha a sequência: 3, 6, 9, 12, … e queira encontrar:

1. O 10º termo.

2. A soma dos primeiros 10 termos.

Primeiro, identifique o que você sabe:

• a₁ = 3 (primeiro termo)

• d = 3 (cada termo aumenta 3)

• n = 10 (queremos o 10º termo e a soma dos 10 primeiros termos)

Passo 1: Encontrar o 10º termo

a₁₀ = 3 + (10 − 1)(3) = 3 + 27 = 30

Portanto, o 10º termo é 30.

Passo 2: Calcular a soma dos primeiros 10 termos

S₁₀ = (10 ÷ 2) × [2(3) + (10 − 1)(3)]

S₁₀ = 5 × [6 + 27] = 5 × 33 = 165

Logo, a soma dos primeiros 10 termos é 165.

Progressões Aritméticas vs. Outras Sequências

Nem toda sequência cresce da mesma forma. Progressões aritméticas evoluem de maneira constante, adicionando ou subtraindo o mesmo valor em cada passo. Mas existem outros tipos de sequências com comportamentos distintos.

• Progressões Geométricas

Em vez de somar um valor fixo, uma progressão geométrica muda multiplicando por um mesmo fator a cada passo. Por exemplo, 2, 4, 8, 16, 32… dobra a cada vez em vez de somar um número fixo. São comuns para modelar crescimento populacional, investimentos com juros ou qualquer fenômeno que cresce (ou diminui) exponencialmente.

• Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci não usa adição ou multiplicação de forma direta. Em vez disso, cada termo é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…. Esse padrão aparece em algoritmos de computador, nas espirais de conchas marítimas e em muito mais.

Se você não tem certeza de qual tipo se encaixa melhor no seu problema, pode explorar nossas outras ferramentas:

• Calculadora de Progressão Geométrica

• Calculadora de Sequência de Fibonacci

• Ou confira ferramentas mais amplas, como nossa Calculadora de Sequência Numérica e a Calculadora Matemática.