Calculadora de Progressão Geométrica

Progressões geométricas estão presentes em diversos contextos — desde o crescimento de poupanças até a propagação de bactérias e até em quebra-cabeças como a Torre de Hanói. Compreender como essas sequências funcionam pode facilitar a resolução de problemas em matemática, finanças e ciências. Vamos explicar o que é uma progressão geométrica, sua estrutura e a razão de sua ampla aplicação.

O que é uma Progressão Geométrica?

Uma progressão geométrica é uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um valor fixo, chamado razão comum. Essa razão pode ser maior que 1 (indicando crescimento), entre 0 e 1 (indicando decaimento), ou mesmo negativa, o que faz com que os termos alternem sinal.

Por exemplo:

• 2,6,18,54,… tem razão comum 3 (cada termo é 3 vezes o anterior).

• 100,50,25,12,5,… tem razão comum 0,5 (cada termo é metade do anterior).

Progressões geométricas diferem das progressões aritméticas — onde você soma ou subtrai um valor constante — por dependerem da multiplicação, não da adição. Isso as torna ideais para modelar situações envolvendo alterações percentuais, crescimento ou decaimento exponencial, como taxas de juros, investimentos ou processos naturais. Se estiver lidando com padrões aditivos, experimente nossa Calculadora de Progressão Aritmética para uma comparação rápida.

Fórmula para Progressões Geométricas

Para trabalhar com progressões geométricas, você precisa de duas fórmulas principais:

1. Fórmula do Termo Geral

Ela mostra como encontrar qualquer termo da sequência sem precisar listar todos os anteriores:

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

Onde:

• aₙ é o termo que deseja encontrar,

• a₁ é o primeiro termo,

• r é a razão comum, e

• n é a posição do termo na sequência.

2. Soma de uma Série Geométrica Finita

Quando deseja somar os primeiros n termos, use:

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1)

Essa fórmula é usada desde o cálculo do total de juros acumulados até a previsão de populações após várias gerações.

Curiosidade: Albert Einstein teria chamado o juro composto (que segue uma progressão geométrica) de 'a oitava maravilha do mundo' devido à rapidez com que os valores crescem quando multiplicados repetidamente.

Essas fórmulas são fundamentais para resolver problemas com progressões geométricas, seja em exercícios simples ou em modelagens financeiras complexas. Para ampliar a resolução de problemas matemáticos, visite nossa Calculadora Matemática, que cobre equações, razões e outras funções.

Como Resolver Problemas de Progressão Geométrica

Resolver problemas com progressões geométricas geralmente envolve três etapas principais: determinar a razão comum, calcular um termo específico e, às vezes, somar a série.

1. Encontrar a Razão Comum (r)

A razão comum é o número pelo qual multiplicamos para passar de um termo ao próximo. Pode ser calculada pela fórmula:

r = aₙ ÷ a₍ₙ₋₁₎

Basta dividir um termo qualquer pelo termo imediatamente anterior.

Exemplo: Para a sequência 3, 6, 12, 24, …:

r = 6 ÷ 3 = 2

2. Calcular Qualquer Termo

Com a razão r e o primeiro termo a₁, podemos localizar qualquer termo da sequência:

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

Exemplo: O 10º termo da sequência 5, 15, 45, … (onde r = 3):

a₁₀ = 5 × 3⁹ = 5 × 19.683 = 98.415

3. Somar Séries Finitas e Infinitas

Às vezes, é necessário somar vários termos (por exemplo, para calcular crescimento total ao longo do tempo). Use:

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r), r ≠ 1

Se estiver trabalhando com uma série infinita e |r| < 1 (isto é, termos cada vez menores que tendem a zero), a série converge e a soma é:

S∞ = a₁ ÷ (1 − r)

Exemplo (Série Infinita): Para 10, 5, 2,5, … (com r = 0,5):

S∞ = 10 ÷ (1 − 0,5) = 20

Sabia que?
Um problema real envolvendo uma bola quicando — onde cada salto atinge metade da altura do anterior — é um exemplo de série geométrica infinita. Apesar de teoricamente a bola quicar para sempre, a distância total percorrida é finita porque a série converge.

Progressões Geométricas vs. Outras Sequências

Embora as progressões geométricas sejam baseadas em multiplicação, nem todos os padrões numéricos funcionam assim. Outros tipos comuns são as progressões aritméticas e a sequência de Fibonacci — compreender as diferenças ajuda a escolher a melhor abordagem para resolver problemas.

Progressão Geométrica vs. Progressão Aritmética

• Na progressão geométrica, cada termo é multiplicado por uma razão constante (r).
  Exemplo: 3,6,12,24,… (r=2).

• Na progressão aritmética, soma-se ou subtrai-se um valor constante a cada termo.
  Exemplo: 3,6,9,12,… (diferença d=3).

Se estiver lidando com padrões aditivos, experimente nossa Calculadora de Progressão Aritmética.

Progressão Geométrica vs. Sequência de Fibonacci

• Na sequência de Fibonacci, a razão ou diferença constante não existe — cada termo é a soma dos dois anteriores: 1,1,2,3,5,8,…

• Os números de Fibonacci aparecem na natureza (espirais em conchas, girassóis) e na modelagem de crescimento, mas não crescem por uma razão fixa como as progressões geométricas.

Se estiver explorando padrões como o de Fibonacci, veja nossa Calculadora de Sequência de Fibonacci. Para outros tipos de sequências, nossa Calculadora de Sequências Numéricas ajuda a analisar diversos padrões.